Die Unbestimmtheitsrelation (UBR)

Die Heisenberg’sche Unbestimtheitsrelation ist ein wesentlicher Bestandteil der Quantenphysik und wird  in keinem Lehrgang fehlen. Man kann wohl behaupten, dass sie als Bildungswissen Allgemeingut sein müsste. Leider ist die UBR aber didaktisch widerspenstig. Eine strenge Herleitung über die Nicht-Vertauschbarkeit von Operatoren ist nicht möglich; gleichzeitig gehen die Ansichten über die richtige Interpretation der UBR nach wie vor auseinander, was die vielen verschiedenen Formulierungen beweisen. Wir beschränken hier bei der UBR auf die Orts-Impulsunbestimmtheit:

Da man die UBR nicht herleiten kann, geht es in der Schule um ein intuitives Finden des Zusammenhangs: Dx . Dpx >h, wobei es nicht entscheidend ist, ob der Zahlenwert rechts vom Ungleichzeichen ganz exakt angegeben ist. Der Zahlenwert liegt in der Größenordnung der Planck'schen Konstante - das ist entscheidend. Als Motivation und Hinführung kann man das Gespräch zwischen Einstein und Heisenberg zitieren, das Heisenberg selbst in seiner Biographie "der Teil und und das Ganze" beschrieben hat:

Was Sie uns da erzählt haben, klingt ja sehr ungewöhnlich. Sie nehmen an, daß es Elektronen im Atom gibt, und darin werden Sie sicher recht haben. Aber die Bahnen der Elektronen im Atom, die wollen Sie ganz abschaffen, obwohl man doch die Bahnen der Elektronen in einer Nebelkammer unmittelbar sehen kann.   Einfach durch Verkleinerung des Raumes, in dem das Elektron sich bewegt, kann doch der Bahnbegriff nicht außer Kraft gesetzt werden. Das ist doch offenbar Unsinn. Können Sie mir die Gründe für diese merkwürdigen Annahmen etwas genauer erklären ? “ "Im Frühjahr 1926 wurde ich eingeladen, im Rahmen eines Kolloquiums  über die neu entstandene Quantenmechanik zu berichten.  Es gelang mir dabei, besonders Einsteins Interesse zu wecken. Einstein bat mich nach dem Kolloquium, ihn in seine Wohnung zu begleiten, damit wir über die neuen Gedanken ausführlich diskutieren könnten. Auf dem Weg dorthin erkundigte er sich nach meinem Studiengang und meinen bisherigen Interessen in der Physik. Als wir aber in der Wohnung angekommen waren, eröffnete er das Gespräch sofort mit einer Frage, die auf die philosophischen Voraussetzungen meiner Versuche zielte"

Doch was sehen wir eigentlich im Fadenstrahlrohr? etwa das Elektron? Nein, vielmehr eine diffuse breite Leuchtspur einer Vielzahl von Elektronen, die unter mehr oder weniger denselben Anfangsbedingungen "präpariert" sind. Und was verstehen wir in der Physik unter einer Bahn? In der Newton'schen Mechanik kennen wir eine Bahn dann, wenn wir zu jedem Zeitpunkt den Ort x und die Geschwindigkeit v angeben können. (statt Geschwindigkeit verwenden wir im folgenden den Impuls p). Doch was passiert, wenn wir versuchen den Ort des Elektrons enger einzugrenzen als es etwa im Fadenstrahlrohr durch die Lochanode (typischer Durchmesser etwa 2mm ) der Fall ist? 

Im Simulationsprogramm "Doppelspalt" lässt sich das realistisch durchspielen, man muss nur eine der beiden Blenden schließen.

Im der nebenstehen Simulation werden Elektronen mit der de-Broglie Wellenlänge 16pm (typischer Wert bei Elektronenbeugungsröhren) durch einen Spalt der Breite 600nm eingeengt. Anstatt einfach gerade durchzugehen, wird bei dieser extrem engen Ortsbegrenzung die Welleneigenschaft der Materie wirksam und die Elektronen treffen am Schirm breit streuend auf. Daraus lässt sich schließen, dass die Elektronen aufgrund der Ortseingrenzung Querimpulse erhalten, die aber nicht vorhersagbar sind, sondern in einer gewissen Bandbreite unvorhersagbar, also zufällig streuen. Zwischen der Ortseingrenzung Dx und der Impulsstreuung Dpx besteht ein je...desto Zusammenhang: je kleiner Dx, desto größer  Dpx und umgekehrt. Oft werden solche Zusammenhänge in Mathematik und Physik als konstantes Produkt geschrieben. Hier wird also die Intuition wirksam, anstelle einer pseudo-Herleitung.
Die Intuition kann noch unterstützt werden durch Diagramme wie in der nebenstehenden Abbildung (aus F. Kranzingers Impulse Quantenphysik)

Anhand der Daten des Simulationsprogramms (obere Abb) folgt, dass Dx = 300n. Die Elektronen streuen in ihrer großen Mehrzahl auf dem Schirm bis etwa 50mm. Bei 2 Meter Schirmabstand folgt daraus ein Streuwinkel von 0,00140

Im Impulsdiagramm ergibt dies Dpx=p.tana=h/l.tana=1.10-27Ns.

für das Produkt aus Ortsunbestimmtheit und Impulsunbestimmtheit ergibt sich damit

Dx . Dpx = 3.10-34Js 

Quelle und copyright: Franz Kranzinger, Impulse Physik, Quantenphysik, Klett Verlag

Im  Anschluss kann und sollte man nun die Frage von Einstein an Heisenberg mit guten Argumenten beantworten. So kann man etwa die Unbestimmtheit der Quergeschwindigkeit bei Elektronen hinter der Lochanode und die daraus resultierende "Aufweitung" des  Elektronenstrahls berechnen. Umgekehrt zeigt man, dass durch Verkleinerung des Raums auf die Größe des Atoms, die Impulse extrem unbestimmt werden, und keine Voraussage über Ort und Impuls mehr möglich ist.  Eine Bahn im Atom ist also nach der UBR unmöglich.
neueste Forschung: 2002 wurde von der Wiener Gruppe um Prof. Zeilinger die UBR mit C70-Fullerenmolekülen bestätigt. Dabei wurde im Prinzip wie oben dargestellt, ein Strahl von Fullerenen durch einen Einfachspalt geschickt, dessen Breite piezoelektrisch verstellt werden konnte.

 

Gedenktafel auf Helgoland zur Erinnerung an die Entdeckung der Unbestimmtheitsrelation.

Heisenberg erholte sich im Juni 1925 auf Helgoland von besonders heftigem Heuschnupfen. In der Abgeschiedenheit der Insel fand er genug Zeit, um über die Probleme und scheinbaren Widersprüche der noch jungen Quantenphysik nachzudenken. So entwickelte er schließlich während seines Aufenthaltes auf Helgoland die "Matrizenmechanik" , welche zur Grundlage der neuen Quantenmechanik wurde. 2 Jahre später (1927) folgte daraus die UBR, während zur gleichen Zeit Niels Bohr das Komplementaritätsprinzip entdeckte.