Die Schrödingergleichung

Am 27. Januar 1926 veröffentlichte Erwin Schrödinger eine Differenzialgleichung, die (zunächst) das Elektron quantenmechanisch korrekt beschreibt. Schrödinger konnte seine Gleichung nicht herleiten, gleichwohl  versuchte er sie zu begründen als eine Synthese zwischen einer Wellengleichung und der de-Broglie-Beziehung. Für solche Zustände des Elektrons, die über lange Zeit stabil, also zeitunabhängig, sind, lässt sich die Schrödingergleichung in der folgenden Form schreiben:

 

y''(x) = - (8p2m)/h 2 . ( W-Wpot(x) ) . y (x)

Dies ist eine Differenzialgleichung 2.Ordnung. 

Für W-Wpot > 0 (innerhalb eines Potenzialtopfs) "wellt" die y-Funktion um die x-Achse, analog zu einem schwingenden System. 

Für W-Wpot < 0 (außerhalb eines Potenzialtopfs) strebt die y-Funktion gegen +/- unendlich.

Physikalisch sinnvoll sind jedoch nur solche Lösungen, wo die y-Funktion asymptotisch gegen die x-Achse strebt;  nur dann ist die Gesamtwahrscheinlichkeit, das Elektron "irgendwo" zu lokalisieren, endlich und damit zu 1 normierbar.

  • Die Schrödingergleichung beschreibt mit der zweiten Ableitung y''(x) die Krümmung der y-Funktion. Damit kann man bereits eine qualitativ-intuitive Diskussion der möglichen Lösungen (etwa in einem Potenzialtopf) durchführen. Dies ist für ein Verständnis der Lösungen sehr hilfreich und im Sinne eines Verständnisses für die Gleichung wichtig.. 

  • Quantitative Lösungen, das sind die Eigenfunktionen zu diskreten Energie-Eigenwerte, können mit einem Modellbildungssystem numerisch am Computer errechnet werden.

  • Simulationsprogramme erlauben das schnelle Berechnen von Energie-Eigenwerten und zugeordneten Eigenfunktionen für verschiedene Potenzialformen. 

 

Hier können Sie ein Skript zur Schrödingergleichung im pdf-Format lesen.

erstellt von Dr. Wolfgang Philipp am Studienseminar Esslingen